Mozquizto

Fråga 1

Bestäm överföringsfunktionen

Systemet $\mathcal{S}$ är linjärt. Utsignalen $y$ som svarar mot insignalen $w$ löser differentialekvationen $$ y''+5y'+6y = w. $$

Bestäm systemets överföringsfunktion $H(s)$

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 2

LTI system

Ett linjärt tidsinvariant och kausalt system ges av differentialekvationen $$ y''+5y'+4y = 3w'+6w. $$

Bestäm impulssvaret

Bestäm systemets impulssvar.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Stabilitet

Är systemet stabilt?

Nej
Ja

Beräkna utsignalen

Bestäm systemets svar på insignalen $28e^{3t}\theta(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 3

LTI system

Ett linjärt tidsinvariant system har stegsvaret ${\mathcal S}\theta(t)=\exp(-2t)\cdot \sin(3t)\theta(t)$.

Bestäm överföringsfunktion

Bestäm systemets överföringsfunktion.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Stabilitet

Är systemet stabilt?

Nej
Ja

Beräkna utsignalen

Beräkna systemets svar på insignalen $6e^t\theta(t)$

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 4

Linjärt system

I ett linjärt, kausalt och tidsinvariant system ges sambandet mellan insignalen $w$ och utsignalen $y$ av $$ y''(t) + 7y(t) + 12y(t) = w(t-3). $$

(I svaren där du ska mata in funktionsuttryck kan du använda theta(t) för Heavisides stegfunktion och delta(t) för Diracs delta.)

Bestäm systemets överföringsfunktion, $H(s)$.

Svara med ett komplext funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. exp(z).
Förhandsgranskning:

Bestäm systemets frekvensfunktion. (Använd w som variabelnamn, inte $\omega$.)

Svara med ett komplext funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. exp(z).
Förhandsgranskning:

Bestäm systemets amplitudfunktion. (Använd w som variabelnamn, inte $\omega$.)

Observera att svaret ska ges som ett reellt funktionsuttryck (inga komplexa tal i ditt svar)!

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Bestäm systemets impulsvar.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Bestäm systemets svar på insignalen $w(t) = \cos(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 5

Derivera/integrera

Beräkna (och förenkla) distributionsderivatan av $t^2\theta(t)$.

Använd theta(t) och delta(t) för att mata in stegfunktionen $\theta(t)$ respektive deltafunktionen $\delta(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 6

Derivera/integrera

Beräkna (och förenkla) distributionsderivatan av $\sin(t)\cdot \theta(t-1)$.

Använd theta(t) och delta(t) för att mata in stegfunktionen $\theta(t)$ respektive deltafunktionen $\delta(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 7

Laplacetransformera differential ekvation och lös den

Beräkna den ensidiga Laplacetransformen av differentialekvationen $$y''+9y=2 t,\quad y(0)=-3,\ y'(0)=-2.$$

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 8

Bestäm systemsvaret

Systemet $\mathcal{S}$ är linjärt, reellt och tidsinvariant.

Vi mäter upp systemets svar på insignalen $w(t) = 3\sin(3t)+3\sin(4t)$ till $y(t) = 2\sin(3t)+\sin(4t)-\cos(3t)+\cos(4t)$.

Bestäm systemets svar på insignalen $w(t) = \sin(4 t) + \cos(4t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 9

Stabilitet

Systemet $\mathcal{S}$ är linjärt, kausalt och tidsinvariant och har överföringsfunktionen $$ H(s) = \frac{-s^3+2s^2-s-2}{(s^{2}+2s+5)(s^{2}+4s+8)}. $$

Är systemet stabilt?

Ja
Nej
Det går inte att avgöra utifrån den givna informationen.

Fråga 10

Bestäm stegsvaret

För ett linjärt, tidsinvariant och kausalt system $\mathcal{S}$ ges sambandet mellan insignal $w$ och utsignal $y$ av lösningen till differentialekvationen $y''-9y = -2w'$.

Bestäm systemets stegsvar.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 11

Lös differentialekvationen

Bestäm den kausala lösningen till $y''+y'-6y = \delta.$

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 12

Vilken är funktionen?

Funktionen $f$ har en graf som består av linjestycken enligt figuren. (Punkter som ser ut att ha heltalskoordinater, har det.)

Skriv ett uttryck för $f(t)$ med hjälp av Heavisides stegfunktion $\theta$.

Heavisidefunktionen heter theta när du matar in den, t.ex. motsvarar t theta(t) en rampfunktion.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 13

Faltningar

Låt $f(t) = \theta(t)$. Distributionen $g$ är okänd, men vi vet att $$ f * g(t) = t^2\theta(t). $$

Beräkna $h * g$, där $h(t) = \delta(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 14

Bestäm impulssvaret

Systemet $\mathcal{S}$ är linjärt och tidsinvariant och har stegsvaret $$ (\mathcal{S}\theta)(t) = \theta(t)-\theta(t-2). $$

Beräkna (och förenkla) systemets impulssvar.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 15

Bestäm systemsvaret

Det linjära, tidsinvarianta systemet $\mathcal{S}$ har överföringsfunktionen $$ H(s) = \frac{s+3}{s^2+s-2}. $$ Bestäm systemets svar på insignalen $w(t) = \sin(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 16

Bestäm lösning

Bestäm den (generaliserat) stationära lösningen till systemet $$ \dot x = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}e^{3t}. $$

Svara med en matris, där varje element är ett funktionsuttryck.
Förhandsgranskning:

Fråga 17

Beräkna resolvent

Bestäm resolventen $(sI-A)^{-1}$ till matrisen $\displaystyle A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.

Svara med en matris, där varje element är ett funktionsuttryck.
Förhandsgranskning:

Fråga 18

Stabilitet?

Matrisen $A$ har det karakteristiska polynomet $$ \det(\lambda I - A) = (\lambda+1)^2(\lambda+3). $$

Vilket eller vilka av följande påståenden kan vara sanna?

Fråga 19

Bestäm exponentialmatris

Låt $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}. $$ Beräkna $e^{tA}$.

Svara med en matris, där varje element är ett funktionsuttryck.
Förhandsgranskning:

Fråga 20

Bestäm matrisen $A$

För matrisen $A$ gäller att $$e^{tA} = \begin{bmatrix} e^t & e^t-e^{3t} \\ 0 & e^{3t} \end{bmatrix}.$$

Bestäm $A$.

Svara med en matris, där varje element är ett rationellt tal. Rationella tal skrivs på formen a/b, där b>0. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare.
Förhandsgranskning:

Fråga 21

System av differentialekvationer

Bestäm lösningen till systemet av differentialekvationer: $$ \begin{bmatrix} \dot x_1(t) \\ \dot x_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 45 \\ -6 & -16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}. $$

Svara med en matris $\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}$.

Svara med en matris, där varje element är ett funktionsuttryck.
Förhandsgranskning:

Fråga 22

Systemsvar

Systemet $\mathcal{S}$ är linjärt och tidsinvariant. I figuren nedan ser du grafen för systemets stegsvar, dvs $y = (\mathcal S \theta)(t)$.

Vilken av nedanstående bilder visar systemets svar på insignalen $$ w = \theta(t-2)-2\theta(t-3) $$

Fråga 23

Beräkna faltning

Låt $f(t) = t\theta(t)$ och $g(t) = \sin(2t)\cdot \theta(t)$. Beräkna (med hjälp av definitionen) faltningen $f*g(t)$.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 24

test

Vad är $a+b-1c$?

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning: